Pembahasan contoh soal rotasi transformasi geometri matematika SMA

Nomor 1
Titik A(1 , 2) diputar 30 derajat berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam terhadap titik asal O(0 , 0). Bayangan titik A oleh rotasi tersebut adalah ....
A. A'(1/2√3 - 1 , 1/2 + √3)
B. A'(1/2√3 + 1 , 1/2 + √3)
C. A'(1/2√3 - 1 , 1/2 - √3)
D. A'(1/2√3 + 1 , 1/2 - √3)
E. A'(1/2√3 - 1 , √3)

Pembahasan
Tentukan bayangan titik A:
x' = x cos α - y sin α
x' = 1 cos 30 - 2 sin 30
x' = 1/2√3 - 1

Bayangan titik y:
y' = x sin α + y cos α
y' = 1 sin 30 + 2 cos 30
y' = 1/2 + √3
Jadi bayangan A = A'(1/2√3 - 1 , 1/2 + √3)
Jawaban: A

Nomor 2
Segitiga ABC dengan A(4 , 0), B(0 , -2), C(-2 , -4) diputar 60 derajat berlawanan arah putaran jarum jam terhadap titik pusat O(0 , 0). Hasil transformasi tersebut adalah...
A. A'(2 , 2), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2)
B. A'(2 , 2√3), B'(√3 , 1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2)
C. A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(1 + 2√3 , -√3 - 2)
D. A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , √3 - 2)
E. A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2)

Pembahasan
Tentukan bayangan titik A(4 , 0) (cara seperti nomor 1)
x' = x cos α - y sin α = 4 cos 60 - 0 sin 60 = 2
y' = x sin α + y cos α = 4 sin 60 + 0 cos 60 = 2√3
Jadi A'(2 , 2√3)

Bayangan titik B(0 , -2):
x' = x cos α - y sin α = 0 cos 60 - (-2) sin 60 = √3
y' = x sin α + y cos α = 0 sin 60 + (-2) cos 60 = -1
Jadi B'(√3 , -1)

Bayangan titik C(-2 , -4)
x' = x cos α - y sin α = -2 cos 60 - (-4) sin 60 = -1 + 2√3
y' = x sin α + y cos α = -2 sin 60 + (-4) cos 60 = -√3 - 2
Jadi C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2)
Jadi bayangan segitiga ABC adalah A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2)
Jawaban: E

Nomor 3
Titik A(2 , 3) diputar terhadap titik B(-1 , -2) dengan arah berlawanan putaran jarum jam sebesar 45 derajat. Bayangan titik A adalah...
A. A'(√2 - 1 , 4√2 -2)
B. A'(-√2 + 1 , 4√2 -2)
C. A'(-√2 - 1 , 4√2 + 2)
D. A'(-√2 + 1 , 4√2 -2)
E. A'(-√2 - 1 , 4√2 -2)

Pembahasan
Karena diputar bukan terhadap titik asal maka cara menentukan bayangannya sebagai berikut:
x' - a = (x - a) cos α - (y - b) sin α
x' - (-1) = (2 - (-1)) cos 45 - (3 - (-2)) sin 45
x' = 3/2 √2 - 5/2√2 - 1 = -√2 - 1 - 5/2√2 - 1 = -√2 - 1

y' - b = (x - a) sin α + (y - b) cos α
y' - (-2) = (2 - (-1)) sin 45 + (3 - (-2)) cos 45
y' = 3/2 √2 + 5/2√2 - 2 = 4√2 -2
Jadi A'(-√2 - 1 , 4√2 -2)
Jawaban: E 

Nomor 4
Sebuah segitiga ABC dengan A(1 , 0), B(4 , 0), C(3 , 4) diputar berlawanan jarum jam sebesar 180 derajat dengan pusat P(a , b). Apabila diperoleh bayangan segitiga A'B'C' dengan A'(-1 , -2), B'(r , s), C'(3 , 2), maka koordinat B' adalah.....
A. B'(-4 , -2)
B. B'(4 , -2)
C. B'(-4 , 2)
D. B'(4 , 2)
E. B'(-2 , -4)

Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu pusat perputaran P(a , b) dengan menggunakan bayangan A'(-1 , -2):
x' - a = (x - a) cos α - (y - b) sin α
-1 - a = (1 - a) cos 180 - (0 - b) sin 180
-1 - a = (1 - a) -1 - (-b) 0
-1 - a = -1 + a
0 = 2a
a = 0/2 = 0

y' - b = (x - a) sin α + (y - b) cos α
-2 - b = (1 - a) sin 180 + (0 - b) cos 180
-2 - b = (1 - a) 0  + (-b) -1
-2 - b = b
-2 = 2b
b = -2 / 2 = -1
Jadi titik pusat P(0 , -1)

Menentukan koordinat B' dengan B(4 , 0)
x' - a = (x - a) cos α - (y - b) sin α
x' - 0 = (4 - 0) cos 180 - (0 - (-1)) sin 180
x' = 4 . -1 - 1 . 0
x' = -4
y' - b = (x - a) sin α + (y - b) cos α
y' - (-1) = (4 - 0) sin 180 + (0 - (-1)) cos 180
y' + 1 = 4 . 0 + 1 . -1
y' = -1 - 1 = -2
Jadi koordinat B'(-4 , -2)
Jawaban: A
Ditulis oleh: Admin Hallo Blog Updated at : 17:01:00