loading...

Cara menghitung volume benda putar yang dibatasi kurva dengan integral

Nomor 1
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x, y = 3x - x2, dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 derajat adalah....
A. 36/15 π
B. 42/15 π
C. 48/15 π
D. 52/15 π
E. 56/15 π

Pembahasan
Untuk menjawab soal ini, mesti diketahui terlebih dahulu titik potong kedua kurva yaitu y = 3x - x2 dan x = 2. Titik potong ini menyatakan batas dari daerah yang akan dihitung volume putarnya.
y = 3x - x2 (ganti x = 0 dan x = 2)
y = 3 . 0 - 02 = 0 - 0 = 0
y = 3 . 2 - 22 = 6 - 4 = 2
Jadi batasnya 0 dan 2
Maka volume putarnya:
V = π∫ [(3x - x2)2 - (x)2] dx = π ∫[(x4 - 6x3 + 9x2) - x2] dx
V = π [1/5 x5 - 3/2 x4 + 3x3) - 1/3 x3]
Masukkan batas-batasnya:
V = π [1/5 . 25 - 3/2 . 24 + 3 . 23 - 1/3 . 23 - 0] 
V = π [ 32/5 - 24 + 24 - 8/3]
V = 56/15 π
Jawaban: E

Nomor 2
Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi y = 1 - x2, y = - 1, y = 1, sumbu Y dan diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360 adalah....
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
E. 5π

Pembahasan
Karena diputar pada sumbu y, maka persamaan y = 1 - x2 diubah menjadi x2 = 1 - y atau x = √(1 - y) dengan batas y = - 1 dan y = 1. Jadi,
V = π ∫(√(1 - y)2 dy = π ∫(1 - y) dy = π [ y - 1/2 y2]
Masukkan batas-batasnya:
V = π [1 - 1/2 . 12 - {(-1) - 1/2 (-1)2}]
V = π [1/2 + 3/2] = 2 π
Jawaban: B

Nomor 3
Volume benda putar daerah yang dibatasi y = x2 dan y2 = 8x dan diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360 adalah...
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
E. 5π

Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu titik potong pada sumbu y kedua kurva y = x2 dan y2 = 8x yaitu dengan
y = x2 maka x = √y
y2 = 8x maka x = y2/8
Maka:
√y = y2/8
y = y4/64
y4 - 64y = 0
y (y3 - 64) = 0
y = 0 dan y = 4
Jadi batasnya y = 0 dan y = 4
Maka:
V = π ∫ [(√y)2 - (y2/8)2] dy = π ∫ (y - y4/64) dy
V = π [1/2 y2 - 1/320 y5]
Masukkan batas-batasnya:
V = π [1/2 . 42 - 1/320 . 45 - 0]
V = π [8 - 3] = 5π
Jawaban: E

Nomor 4
Volume benda putar daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2, y = 6 - x, sumbu x dan mengelilingi sumbu y sejauh 360 adalah...
A. 776/15 π
B. 726/15 π
C. 666/15 π
D. 576/15 π
E. 476/15 π

Pembahasan
Karena diputar mengelilingi sumbu y maka batas dan kurva dalam y.
x = y2
y = 6 - x maka x = 6 - y
Menentukan titik potong:
y2 = 6 - y
y2 + y - 6 = 0
(y + 3) (y - 2) = 0
y = - 3 dan y = 2 (y = - 3 tidak diambil karena kurva dibatasi oleh sumbu x, jadi batasnya 0 dan 2)
Maka,
V = π ∫[(6 - y)2 - (y2)2] dy
V = π ∫[y2 - 12y + 36 - y4] dy
V = π [1/3 y3 - 6y2 + 36y - 1/5y5]
Masukkan batas-batasnya:
V = π [1/3 .(2)3 - 6(2)2 + 36 . 2 - 1/5 (2)5 - 0]
V = π [8/3 - 24 + 72 - 32/5] = π [ 56/15 + 48] = 776/15 π
Jawab: A
loading...
Ditulis oleh: Admin Hallo Blog Updated at : 11:14:00