Pembahasan soal program linear

Program linear

Dibawah ini adalah pembahasan soal-soal matematika tentang program linear. Program linear biasanya digunakan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum.Program linear merupakan salah satu bahasan matematika SMA kelas XI MIA ataupun IIS. Pembahasan soal dapat dijadikan bahan belajar tambahan bagi siswa yang ingin memperoleh informasi tambahan tentang program linear. Pembahasan soal ini dapat dijadikan bahan belajar untuk menghadapi berbagai ulangan disekolah seperti ulangan harian, UAS, UKK, UN, dan ulangan lainnya. Berikut adalah pembahasan soal program linear:

Nomor 1
Sebuah butik memiliki 4 m kain satin dan 5 m kain prada. Dari bahan tersebut akan dibuat dua baju pesta. Baju pesta 1 memerlukan 2 m kain satin dan 1 m kain prada. Baju pesta 2 memerlukan 1 m kain satin dan 2 m kain prada. Jika harga jual baju pesta 1 sebesar Rp. 500.000 dan baju pesta 2 sebesar Rp. 400.000, hasil penjualan maksimum butik adalah....
A. Rp. 500.000,00
B. Rp. 700.000,00
C. Rp. 1.000.000,00
D. Rp. 1.300.000,00
E. Rp. 1.500.000,00

Pembahasan
Misal
            Baju 1 (x)         Baju 2 (y)         Total
Satin          2x                     y                  4
Prada          x                     2y                 5

Diperoleh sistem pertidaksamaan:
2x + y 4 dengan titik koordinat (0,4) dan (2,0)
x + 2y 5 dengan titik koordnat (0,5/2) dan (5,0)
Dengan fungsi sasaran penjualan:
500000x + 400000y

Eliminasi:
2x + y = 4    x 2
x + 2y = 5    x 1
______________
4x + 2y = 8
x + 2y = 5
___________-
3x = 3
x = 1
dan y = 2
Tiitk koordinat (1,2)
Jika digambarkan titik koordinat)
Cara menentukan titik kritis
Dari gambar, titik kritis (yang ditunjuk anak panah):
(0, 5/2)
(2,0)
(1,2)
Titik kritis menunjukkan batas-batas dari HP
Subtitusikan titik kritis ke fungsi sasaran dan nilai terbesar adalah jawabannya.
                 500000x + 400000y
(0; 2,5) =   1.000.000
(2;0)    =    1.000.000
(1;2)    =    1.300.000
Jadi penjualan maksimum adalah Rp. 1.300.000,00
Jawaban: D

Nomor 2
Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari pertidaksamaan
4x + 2y 60
2x + 4y 48
x ≥  0 dan y0
Adalah...
A. 80
B. 100
C. 120
D. 150
E. 200

Pembahasan:
Diperoleh sistem pertidaksamaan:
4x + 2y 60
2x + 4y 48
x ≥  0 dan y0
Dengan fungsi sasaran:
6x + 8y
Diperoleh titik kritis (lihat cara nomor 1)
              6x + 8y
(0 ; 12) = 6 . 0 + 8 . 12 = 96
(15 ; 0) = 6 . 15 + 8 . 0 = 90
(12 ; 6) = 6 . 12 + 8 . 6 = 120

Jadi yang terbesar adalah 120.
Jawaban: C

Nomor 3
Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.


Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y adalah....
A. 102
B. 115
C. 125
D. 150
E. 200
Pembahasan
Terlebih dahulu tentukan persamaan garis dengan rumus:
y − y1 = m (x − x1), m = Δy/Δx

Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan (0, 20) 
m = 20/−12 = − 5/3

y − 20 = − 5/3 (x − 0)
y − 20 = − 5/3 x
y + 5/3 x = 20
3y + 5x = 60 ................(pers. garis 1 dengan tiitk koordinat (0,20) dan (12,0)

Persamaan garis yang melalui titik (18, 0) dan (0, 15) :
m = 15/−18 = − 5/6

y − 15 = − 5/6 (x − 0)
y + 5/6 x = 15
6y + 5x = 90 ...............(pers garis 2 dengan titik koordinat (0, 15) dan (18,0))

Titik potong kedua garis:
6y + 5x = 90
3y + 5x = 60
_________ -
3y = 30
y = 10
3(10) + 5x = 60
5x = 30
x = 6
Titik potong kedua garis adalah (6, 10)

Diperoleh titik kritis (lihat nomor 1): 
                     7x + 6
Titik (0, 0) → 7(0) + 6(0) = 0
Titik (12,0) → 7(12) + 6(0) = 84
Titik (0, 15) → 7(0) + 6(15) = 90
Titik (6, 10) → 7(6) + 6(10) = 102

Nilai maksimum tercapai saat x = 6 dan y = 10 yaitu 102
Jawaban: A
Nomor 4
Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp. 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp. 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang didapat dari penjualan rumah tersebut adalah...
A. Rp. 550.000.000,00
B. Rp. 600.000.000,00
C. Rp. 700.000.000,00
D. Rp. 800.000.000,00
E. Rp. 900.000.000,00

Pembahasan
Misalkan
Rumah tipe A = x
Rumah tipe B = y
Diperoleh sistem pertidaksamaan
100x + 75y ≤ 10.000  : 25
4x + 3y ≤ 400 ..............(1) dengan titik potong (0,400/3) dan (100,0)

x + y ≤ 125 ..................(2) dengan titik potong (0,125) dan (125,0)
(menentukan titik potong, ganti x atau y = 0)
Fungsi sasaran
6.000.000x + 4.000.000y

Eliminasi (1) dan (2)
4x + 3y = 400                 x1
x + y = 125                     x3

4x + 3y = 400
3x + 3y = 375
_____________-
x = 25
y = 125 - x = 125 - 25 = 100
Jadi titik potongnya (25,100)
Ada 5 titik potong, jika digambarkan sebagai berikut:
Cara menentukan titik kritis
Berdasarkan gambar diatas titik kritisnya adalah (yang ditunjuk anak panah)
(25,100)
(0,125)
(100,0)
Subtitusikan titik kritis ke fungsi sasaran dan nilai terbesar adalah jawabannya
(25,100) --> 6.000.000 (25) + 4.000.000 (100) = 550.000.000
(0,125) --> 6.000.000 (0) + 4.000.000 (125) = 500.000.000
(100,0) --> 6.000.000 (100) + 4.000.000 (0) = 600.000.000
Yang terbesar adalah 600.000.000
Jawaban: B

Nomor 5
Dengan persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m, seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian jadi. Model 1 memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model 2 memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model 1 mendapat untung Rp. 15.000,00 dan model 2 mendapat untung Rp. 10.000,00. Laba maksimum yang diperoleh adalah...
A. Rp. 100.000,00
B. Rp. 140.000,00
C. Rp. 160.000,00
D. Rp. 200.000,00
E. Rp. 300.000,00

Pembahasan
Misalkan:
Model 1 = x dan model 2 = y, maka sistem pertidaksamaan pada soal adalah sebagai berikut:
x + 2y ≤ 20 .....(1) dengan titik koordinat (0,10) dan (20,0)
1,5x + 0,5y ≤ 10 .....(2) dengan titik koordinat (0,20) dan (20/3,0)
Fungsi sasaran:
15.000x + 10.000y

Eliminasi (1) dan (2)
x + 2y = 20            x 1,5
1,5x + 0,5y = 10    x 1

1,5x + 3y = 30
1,5x + 0,5y = 10
______________-
2,5y = 20
y = 8
x = 20 - 2y = 20 - 2 . 8 = 4
Jadi titik potong kedua garis (4,8)
Cara menentukan titik kritis nilai maksimum
Titik kritis:
(20/3, 0)
(0,10)
(4,8)
Subtitusi titik kritis ke fungsi sasaran 15.000x + 10.000y dan hasil terbesar adalah jawabannya.
20/3, 0 maka  15.000 (20/3) + 0 = 100.000
0,10 maka 0 + 10.000 (10) = 100.000
4,8 maka 15.000 (4) + 10.000 (8) = 60.000 + 80.000 = 140.000
Jadi yang terbesar 140.000
Jawaban: B
Ditulis oleh: Admin Hallo Blog Updated at : 19:37:00